Uporządkuj rosnąco: 2^√2, 4^0,7, (1/2)^(−1,5), ∛16

Krok 1. Wszystkie liczby jako potęgi dwójki.

$b = \left(2^2\right)^{0{,}7} = 2^{1{,}4}, \qquad c = \left(2^{-1}\right)^{-1{,}5} = 2^{1{,}5}, \qquad d = \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}}$

a $a = 2^{\sqrt{2}}$ już jest potęgą dwójki.

Krok 2. Porównanie wykładników. $\frac{4}{3} = 1{,}33\ldots$ oraz $\sqrt{2} = 1{,}414\ldots$, więc

$\frac{4}{3} < 1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$

(drugą nierówność sprawdzamy kwadratem: $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2$).

Krok 3. Monotoniczność. Podstawa $2 > 1$, więc funkcja $2^x$ jest rosnąca - kolejność potęg jest taka sama jak kolejność wykładników.

Odpowiedź. $d < b < a < c$, czyli $\sqrt[3]{16} < 4^{0{,}7} < 2^{\sqrt{2}} < \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1{,}5}$.

Gdyby wszystkie liczby sprowadzić do podstawy $\frac{1}{2}$, kolejność wykładników trzeba by odwrócić - funkcja $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ jest malejąca.