Wykaż, że (3ˣ⁺² − 3ˣ) : (3ˣ⁺¹ + 3ˣ) nie zależy od x

Krok 1. Rozpisanie potęg. Z prawa $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$:

$3^{x + 2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x, \qquad 3^{x + 1} = 3 \cdot 3^x$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika. W liczniku i mianowniku wyłączamy $3^x$:

$W = \frac{3^x(9 - 1)}{3^x(3 + 1)} = \frac{3^x \cdot 8}{3^x \cdot 4}$

Krok 3. Skracanie. $3^x > 0$ dla każdego $x$, więc wolno przez nie skrócić (nigdy nie jest zerem):

$W = \frac{8}{4} = 2$

Odpowiedź. Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ wartość wyrażenia wynosi $2$, co kończy dowód.

Sprawdzenie dla $x = 0$: $\frac{9 - 1}{3 + 1} = 2$. Ten sam chwyt - wyłączenie potęgi o najmniejszym wykładniku - rozwiązuje równania typu $3^{x + 2} - 3^x = 72$.