Parametr m w funkcji f(x) = (x + m)/(mx + 4) - kiedy homograficzna i rosnąca

Krok 1. Warunki dla funkcji homograficznej. Tu $a = 1$, $b = m$, $c = m$, $d = 4$. Potrzebujemy $c \ne 0$, czyli $m \ne 0$, oraz

$ad - bc = 1 \cdot 4 - m \cdot m = 4 - m^2 \ne 0 \iff m \ne -2 \ \text{ i } \ m \ne 2.$

Co się dzieje w wykluczonych przypadkach? Dla $m = 0$ mamy $f(x) = \tfrac{x}{4}$ - funkcja liniowa. Dla $m = 2$: $f(x) = \tfrac{x + 2}{2x + 4} = \tfrac{1}{2}$ dla $x \ne -2$. Dla $m = -2$: $f(x) = \tfrac{x - 2}{-2x + 4} = -\tfrac{1}{2}$ dla $x \ne 2$. W obu ostatnich przypadkach funkcja jest stała z dziurą.

Krok 2. Postać kanoniczna. Dla $m \ne 0$ dzielimy licznik i mianownik przez $m$:

$f(x) = \frac{x + m}{m\left(x + \tfrac{4}{m}\right)}.$

Licznik zapisujemy jako $x + m = \left(x + \tfrac{4}{m}\right) + \left(m - \tfrac{4}{m}\right)$, więc

$f(x) = \frac{1}{m} + \frac{m - \tfrac{4}{m}}{m\left(x + \tfrac{4}{m}\right)} = \frac{\tfrac{m^2 - 4}{m^2}}{x + \tfrac{4}{m}} + \frac{1}{m}.$

Zatem $k = \dfrac{m^2 - 4}{m^2}$, $p = -\dfrac{4}{m}$, $q = \dfrac{1}{m}$.

Krok 3. Kiedy rosnąca. Funkcja homograficzna rośnie w każdym przedziale dziedziny, gdy $k < 0$. Mianownik $m^2$ jest dodatni, więc decyduje licznik:

$m^2 - 4 < 0 \iff m \in (-2;\ 2).$

Po uwzględnieniu $m \ne 0$ z punktu a) zostaje $m \in (-2;\ 0) \cup (0;\ 2)$. To samo daje skrót z lekcji: dodatnie $ad - bc = 4 - m^2$.

Krok 4. Asymptota $x = 2$. Asymptota pionowa to $x = p = -\tfrac{4}{m}$. Równanie $-\tfrac{4}{m} = 2$ daje $m = -2$. Ale dla $m = -2$ funkcja nie jest homograficzna (krok 1): mianownik $-2x + 4$ zeruje się w $x = 2$, lecz licznik też, i zamiast asymptoty jest dziura w punkcie $\left(2,\ -\tfrac{1}{2}\right)$.

Uwaga: samo przyrównanie miejsca zerowego mianownika do $2$ daje „odpowiedź” $m = -2$. Bez sprawdzenia warunku $ad - bc \ne 0$ łatwo ją zaakceptować.

Odpowiedź. a) $m \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}$; b) $m \in (-2;\ 0) \cup (0;\ 2)$; c) nie istnieje - jedyny kandydat $m = -2$ daje funkcję stałą $f(x) = -\tfrac{1}{2}$ z dziurą w $x = 2$, a nie asymptotę.