Która funkcja jest homograficzna? Warunek ad − bc ≠ 0

Funkcja $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ jest homograficzna, gdy $c \ne 0$ i $ad - bc \ne 0$. Sprawdzamy oba warunki po kolei.

Krok 1. Funkcja $f_1$. $a = 6$, $b = -9$, $c = 4$, $d = -6$:

$ad - bc = 6 \cdot (-6) - (-9) \cdot 4 = -36 + 36 = 0.$

To nie jest funkcja homograficzna. Dziedzina: $4x - 6 \ne 0$, czyli $x \ne \tfrac{3}{2}$ - wyznaczamy ją przed skracaniem. Dla $x \ne \tfrac{3}{2}$:

$f_1(x) = \frac{3(2x - 3)}{2(2x - 3)} = \frac{3}{2}.$

Wykres to pozioma prosta $y = \tfrac{3}{2}$ z wyrwanym punktem $\left(\tfrac{3}{2},\ \tfrac{3}{2}\right)$.

Krok 2. Funkcja $f_2$. $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$, $d = -1$:

$ad - bc = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 = -7 \ne 0.$

To funkcja homograficzna. Asymptota pionowa: $3x - 1 = 0$, czyli $x = \tfrac{1}{3}$; pozioma: $y = \tfrac{a}{c} = \tfrac{1}{3}$.

Krok 3. Funkcja $f_3$. Licznik zapisujemy w kolejności $-2x + 5$, więc $a = -2$, $b = 5$, $c = 1$, $d = 0$:

$ad - bc = (-2) \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5 \ne 0.$

To funkcja homograficzna: $f_3(x) = \dfrac{5}{x} - 2$, czyli hiperbola $y = \tfrac{5}{x}$ przesunięta o $2$ w dół. Asymptoty: $x = 0$ (oś $OY$) i $y = -2$.

Krok 4. Funkcja $f_4$. W mianowniku nie ma $x$: $c = 0$. To zwykła funkcja liniowa $f_4(x) = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, a jej wykresem jest prosta - nie hiperbola.

Uwaga: przy $f_1$ łatwo dać się zwieść - asymptota „$x = \tfrac{3}{2}$” i „$y = \tfrac{6}{4}$” wyglądają wiarygodnie, a funkcja jest stała.

Odpowiedź. Homograficzne są $f_2$ (asymptoty $x = \tfrac{1}{3}$, $y = \tfrac{1}{3}$) i $f_3$ (asymptoty $x = 0$, $y = -2$). Funkcja $f_1$ jest stała, równa $\tfrac{3}{2}$, z dziurą dla $x = \tfrac{3}{2}$, a $f_4$ jest funkcją liniową.