Wzór funkcji homograficznej odczytany z wykresu

Krok 1. Asymptoty dają $p$ i $q$. Asymptota pionowa $x = -2$ oznacza $p = -2$ (w mianowniku $x - (-2) = x + 2$), a pozioma $y = 1$ oznacza $q = 1$:

$f(x) = \frac{k}{x + 2} + 1.$

Krok 2. Punkt daje $k$. Podstawiamy $(0,\ 2)$:

$2 = \frac{k}{0 + 2} + 1 \iff \frac{k}{2} = 1 \iff k = 2.$

Kontrola drugim punktem $(-3,\ -1)$: $\tfrac{2}{-3 + 2} + 1 = -2 + 1 = -1$ - zgadza się.

Krok 3. Postać ogólna. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$f(x) = \frac{2}{x + 2} + 1 = \frac{2 + (x + 2)}{x + 2} = \frac{x + 4}{x + 2}.$

Krok 4. Wartość $f(6)$. $f(6) = \dfrac{6 + 4}{6 + 2} = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4}$.

Krok 5. Nierówność $f(x) \le 0$. Miejsce zerowe: $x + 4 = 0$, czyli $x = -4$ (na rysunku lewa gałąź przecina oś $OX$ właśnie tam). Wykres leży na osi lub pod nią na fragmencie lewej gałęzi od $x = -4$ do asymptoty $x = -2$; prawa gałąź jest cała nad prostą $y = 1$. Rachunkiem:

$\frac{x + 4}{x + 2} \le 0 \iff (x + 4)(x + 2) \le 0 \ \text{ i } \ x \ne -2 \iff x \in \langle -4;\ -2).$

Uwaga: $-4$ należy do rozwiązania (tam $f(x) = 0$), ale $-2$ nie - to zero mianownika.

Odpowiedź. a) $f(x) = \dfrac{2}{x + 2} + 1 = \dfrac{x + 4}{x + 2}$; b) $f(6) = \dfrac{5}{4}$; c) $x \in \langle -4;\ -2)$.