Liczba rozwiązań równania 3/(|x| − 2) = m w zależności od m

Krok 1. Funkcja pomocnicza. Niech $g(x) = \dfrac{3}{x - 2}$ - hiperbola $y = \tfrac{3}{x}$ przesunięta o $2$ w prawo, asymptoty $x = 2$ i $y = 0$. Lewa strona równania to $g(|x|)$, a wykres $y = g(|x|)$ powstaje tak: część wykresu $g$ dla $x \ge 0$ zostawiamy, a następnie odbijamy ją symetrycznie względem osi $OY$ (część dla $x < 0$ wyrzucamy). Dziedzina: $|x| \ne 2$, czyli $x \ne -2$ i $x \ne 2$.

Krok 2. Co zostaje dla $x \ge 0$. Dla $x \in \langle 0;\ 2)$ wartości $g$ zaczynają się od $g(0) = -\tfrac{3}{2}$ i maleją do $-\infty$ przy $x \to 2$ (bo $k = 3 > 0$, funkcja malejąca). Dla $x > 2$ wartości maleją od $+\infty$ do $0$, nigdy go nie osiągając.

Krok 3. Wykres po odbiciu. Środkowa gałąź (między $-2$ a $2$) ma najwyższy punkt $\left(0,\ -\tfrac{3}{2}\right)$ i opada do $-\infty$ przy obu asymptotach. Dwie zewnętrzne gałęzie leżą nad osią $OX$.

Krok 4. Przesuwamy prostą $y = m$.

Krok 5. Kontrola rachunkiem. Dla $m \ne 0$ równanie daje $|x| - 2 = \tfrac{3}{m}$, czyli $|x| = 2 + \tfrac{3}{m}$. Ma ono dwa rozwiązania, gdy $2 + \tfrac{3}{m} > 0$, jedno, gdy $2 + \tfrac{3}{m} = 0$, i żadnego, gdy $2 + \tfrac{3}{m} < 0$. Dla $m > 0$ prawa strona jest dodatnia; dla $m < 0$ warunek $2 + \tfrac{3}{m} > 0$ po pomnożeniu przez $m < 0$ daje $2m + 3 < 0$, czyli $m < -\tfrac{3}{2}$, a równość - $m = -\tfrac{3}{2}$ (wtedy $x = 0$). Dla $m = 0$ równanie $\tfrac{3}{|x| - 2} = 0$ jest sprzeczne. Wszystko zgadza się z tabelą.

Uwaga: wartość $m = 0$ łatwo zaliczyć do przypadku „$m > 0$” - ale oś $OX$ jest asymptotą zewnętrznych gałęzi i wykres jej nie osiąga.

Odpowiedź. Dwa rozwiązania dla $m \in \left(-\infty;\ -\tfrac{3}{2}\right) \cup (0;\ +\infty)$; jedno rozwiązanie dla $m = -\tfrac{3}{2}$; brak rozwiązań dla $m \in \left(-\tfrac{3}{2};\ 0\right\rangle$.