Postać kanoniczna i asymptoty funkcji f(x) = (3x − 1)/(x − 2)

Krok 1. Czy to funkcja homograficzna? Mamy $a = 3$, $b = -1$, $c = 1$, $d = -2$, więc

$ad - bc = 3 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1 = -6 + 1 = -5 \ne 0.$

Warunek jest spełniony, wykresem będzie hiperbola.

Krok 2. Wydzielamy całość z ułamka. Mianownik $x - 2$ mieści się w liczniku $3x - 1$ trzy razy: $3(x - 2) = 3x - 6$, a do $3x - 1$ brakuje jeszcze $5$. Zatem $3x - 1 = 3(x - 2) + 5$ i

$f(x) = \frac{3(x - 2) + 5}{x - 2} = 3 + \frac{5}{x - 2} = \frac{5}{x - 2} + 3.$

Stąd $k = 5$, $p = 2$, $q = 3$: wykres to hiperbola $y = \tfrac{5}{x}$ przesunięta o wektor $[2,\ 3]$.

Krok 3. Asymptoty, dziedzina, zbiór wartości. Asymptota pionowa $x = 2$, pozioma $y = 3$. Dziedzina $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, zbiór wartości $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Krok 4. Monotoniczność. $k = 5 > 0$, więc funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty;\ 2)$ i malejąca w przedziale $(2;\ +\infty)$ - w każdym osobno.

Krok 5. Przecięcia z osiami. Miejsce zerowe: $3x - 1 = 0$, czyli $x = \tfrac{1}{3}$. Oś $OY$: $f(0) = \tfrac{-1}{-2} = \tfrac{1}{2}$.

Krok 6. Szkic. Dorzucamy kilka punktów z obu stron asymptoty pionowej: $f(-3) = \tfrac{-10}{-5} = 2$, $f(1) = \tfrac{2}{-1} = -2$, $f(7) = \tfrac{20}{5} = 4$.

Uwaga: zdanie „funkcja jest malejąca w zbiorze $(-\infty;\ 2) \cup (2;\ +\infty)$” jest błędne - np. $f(1) = -2 < f(7) = 4$, choć $1 < 7$.

Odpowiedź. $f(x) = \dfrac{5}{x - 2} + 3$; asymptoty $x = 2$ i $y = 3$; dziedzina $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, zbiór wartości $\mathbb{R} \setminus \{3\}$; funkcja malejąca w $(-\infty;\ 2)$ i w $(2;\ +\infty)$; przecięcia z osiami: $\left(\tfrac{1}{3},\ 0\right)$ i $\left(0,\ \tfrac{1}{2}\right)$.