Wykres i znak funkcji f(x) = (4x − 2)/(2x + 2)

Krok 1. Postać kanoniczna. Najpierw całość: $4x - 2 = 2(2x + 2) - 6$, więc

$f(x) = \frac{2(2x + 2) - 6}{2x + 2} = 2 - \frac{6}{2x + 2}.$

W mianowniku ma stać samo $x - p$, więc wyłączamy $2$: $\dfrac{6}{2x + 2} = \dfrac{6}{2(x + 1)} = \dfrac{3}{x + 1}$. Zatem

$f(x) = \frac{-3}{x + 1} + 2, \qquad k = -3,\ p = -1,\ q = 2.$

Warunek $ad - bc = 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 2 = 12 \ne 0$ jest spełniony.

Krok 2. Szkielet wykresu. Asymptoty: pionowa $x = -1$ (zero mianownika), pozioma $y = \tfrac{4}{2} = 2$. Ponieważ $k < 0$, gałęzie leżą „lewa górna” i „prawa dolna” względem asymptot.

Krok 3. Punkty. Miejsce zerowe: $4x - 2 = 0$, czyli $x = \tfrac{1}{2}$; $f(0) = \tfrac{-2}{2} = -1$. Dalej $f(-4) = 1 + 2 = 3$, $f(-2) = 3 + 2 = 5$, $f(2) = -1 + 2 = 1$.

Krok 4. Zbiór wartości. Funkcja przyjmuje wszystkie wartości oprócz $q = 2$: $ZW = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Krok 5. Gdzie $f(x) > 0$. Wykres leży nad osią $OX$ na całej lewej gałęzi (tam wartości są większe od $2$) oraz na prawej gałęzi na prawo od miejsca zerowego: $x \in (-\infty;\ -1) \cup \left(\tfrac{1}{2};\ +\infty\right)$. Sprawdzenie rachunkiem: $\tfrac{4x - 2}{2x + 2} > 0 \iff (4x - 2)(2x + 2) > 0$ - pierwiastki $-1$ i $\tfrac{1}{2}$, parabola ramionami w górę, więc znak dodatni na zewnątrz pierwiastków.

Krok 6. Gdzie $f(x) < 2$. Wykres leży pod asymptotą $y = 2$ dokładnie na prawej gałęzi. Rachunkiem: $f(x) - 2 = \tfrac{-3}{x + 1} < 0 \iff x + 1 > 0 \iff x > -1$.

Uwaga: liczba $-1$ nie należy do dziedziny, więc w obu odpowiedziach stoi przy niej nawias okrągły.

Odpowiedź. $ZW = \mathbb{R} \setminus \{2\}$; $f(x) > 0$ dla $x \in (-\infty;\ -1) \cup \left(\tfrac{1}{2};\ +\infty\right)$; $f(x) < 2$ dla $x \in (-1;\ +\infty)$.