Wzór funkcji homograficznej z asymptoty poziomej i dwóch punktów

Krok 1. Postać kanoniczna z jedną znaną liczbą. Asymptota pozioma daje $q = 2$, więc

$f(x) = \frac{k}{x - p} + 2.$

Niewiadome są dwie: $k$ i $p$. Mamy też dwa punkty - wystarczy.

Krok 2. Podstawiamy punkty. Z punktu $A$: $4 = \dfrac{k}{1 - p} + 2$, czyli $\dfrac{k}{1 - p} = 2$ i $k = 2(1 - p)$. Z punktu $B$: $0 = \dfrac{k}{5 - p} + 2$, czyli $\dfrac{k}{5 - p} = -2$ i $k = -2(5 - p)$.

Krok 3. Rozwiązujemy układ. Porównujemy oba wyrażenia na $k$:

$2 - 2p = -10 + 2p \iff 12 = 4p \iff p = 3.$

Stąd $k = 2(1 - 3) = -4$. Obie liczby $1$ i $5$ są różne od $p = 3$, więc punkty $A$ i $B$ należą do dziedziny - mnożenie przez $1 - p$ i $5 - p$ było dozwolone.

Krok 4. Wzór i sprawdzenie.

$f(x) = \frac{-4}{x - 3} + 2 = \frac{-4 + 2(x - 3)}{x - 3} = \frac{2x - 10}{x - 3}.$

Sprawdzenie: $f(1) = \tfrac{-8}{-2} = 4$ i $f(5) = \tfrac{0}{2} = 0$ - oba punkty leżą na wykresie.

Uwaga: każda gałąź hiperboli leży w całości po jednej stronie asymptoty poziomej. Punkt $A$ jest nad prostą $y = 2$, a $B$ pod nią, więc muszą leżeć na różnych gałęziach - asymptota pionowa wypada między nimi ($1 < 3 < 5$), co zgadza się z wynikiem.

Odpowiedź. $f(x) = \dfrac{-4}{x - 3} + 2 = \dfrac{2x - 10}{x - 3}$; asymptota pionowa $x = 3$.