Cosinus i sinus kąta trójkąta o bokach 5, 6, 7 oraz jego pole

Krok 1. Który bok leży naprzeciw kąta $\alpha$? Naprzeciw wierzchołka $A$ leży bok $BC = 5$, a kąt $\alpha$ jest zawarty między bokami $AB = 7$ i $AC = 6$.

Krok 2. Cosinus z twierdzenia cosinusów:

$\cos\alpha = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}.$

Krok 3. Sinus z jedynki trygonometrycznej. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, a sinus kąta w trójkącie jest dodatni (kąt leży między $0^\circ$ a $180^\circ$):

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}.$

Krok 4. Pole ze wzoru z sinusem. Pole to połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 6\sqrt{6} \approx 14{,}70.$

Krok 5. Kontrola wzorem Herona. Połowa obwodu $p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$, więc

$P = \sqrt{9 \cdot (9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}.$

Zgadza się. Więcej o tym wzorze: pole trójkąta - wzór Herona.

Uwaga: przy liczeniu sinusa z cosinusa zawsze bierzemy pierwiastek dodatni - nawet gdy cosinus jest ujemny (kąt rozwarty), sinus kąta trójkąta pozostaje dodatni.

Odpowiedź. a) $\cos\alpha = \frac{5}{7}$, $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{7}$; b) $P = 6\sqrt{6}$.