Boki x, x + 1, x + 2 - kiedy trójkąt jest rozwartokątny?

Krok 1. Kiedy trójkąt istnieje. Wszystkie boki dodatnie: $x > 0$. Najdłuższy jest bok $x + 2$, więc wystarczy, by suma dwóch krótszych była od niego większa:

$x + (x + 1) > x + 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 1.$

Krok 2. Test rodzaju. Największy kąt leży naprzeciw boku $x + 2$, a jego cosinus ma znak wyrażenia $x^2 + (x + 1)^2 - (x + 2)^2$. Upraszczamy:

$x^2 + x^2 + 2x + 1 - (x^2 + 4x + 4) = x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).$

Krok 3. Rozwartokątny: cosinus ujemny, czyli

$(x - 3)(x + 1) < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 < x < 3.$

Razem z warunkiem $x > 1$ z kroku 1: $x \in (1, 3)$.

Krok 4. Prostokątny: $(x - 3)(x + 1) = 0$ i $x > 1$, więc $x = 3$ - boki $3$, $4$, $5$, czyli słynny trójkąt egipski.

Krok 5. Ostrokątny: $(x - 3)(x + 1) > 0$ i $x > 1$, więc $x > 3$. Przykład: $x = 4$ daje boki $4$, $5$, $6$ i $36 < 16 + 25$.

Krok 6. Sprawdzenie w punkcie. Dla $x = 2$ (boki $2$, $3$, $4$): $16 > 4 + 9$, trójkąt jest rozwartokątny - zgodnie z krokiem 3.

Uwaga: bez kroku 1 odpowiedź $x \in (-1, 3)$ byłaby błędna - dla $x \le 1$ trójkąta w ogóle nie ma (np. $x = 1$ daje odcinki $1$, $2$, $3$, które leżą na jednej prostej).

Odpowiedź. Rozwartokątny dla $x \in (1, 3)$, prostokątny dla $x = 3$, ostrokątny dla $x > 3$.