Kąt z trzech boków: trójkąt 5, 7, 8 i kąt naprzeciw boku 7

Krok 1. Oznaczenia. Szukany kąt nazwijmy $\gamma$. Leży on naprzeciw boku $c = 7$, czyli między bokami $a = 5$ i $b = 8$.

Krok 2. Przekształcone twierdzenie cosinusów. Z $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ wyznaczamy cosinus:

$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$

W liczniku od sumy kwadratów boków przy kącie odejmujemy kwadrat boku naprzeciw kąta.

Krok 3. Podstawiamy.

$\cos\gamma = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}.$

Krok 4. Odczytujemy kąt. W przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$ cosinus równy $\frac{1}{2}$ ma tylko kąt $60^\circ$ - kąt z cosinusa jest wyznaczony jednoznacznie.

Odpowiedź. Kąt naprzeciw boku $7$ ma miarę $60^\circ$.