Największy kąt trójkąta o bokach 7, 8 i 13 - ujemny cosinus

Krok 1. Który kąt jest największy? W trójkącie naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt. Największy kąt $\gamma$ leży więc naprzeciw najdłuższego boku $13$, między bokami $7$ i $8$.

Krok 2. Cosinus z twierdzenia cosinusów.

$\cos\gamma = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}.$

Krok 3. Znak cosinusa. Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty. Kąt przyległy ma cosinus $\frac{1}{2}$, czyli $60^\circ$, a ze wzoru $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$:

$\gamma = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.$

Uwaga: odpowiedź $60^\circ$ to typowy błąd - wartość $\frac{1}{2}$ odczytana bez minusa. Kąt naprzeciw boku $13$ nie może mieć $60^\circ$: gdyby boki $7$ i $8$ tworzyły kąt $60^\circ$, trzeci bok miałby długość $\sqrt{49 + 64 - 56} = \sqrt{57} \approx 7{,}55$, a nie $13$.

Odpowiedź. Największy kąt ma miarę $120^\circ$ - trójkąt jest rozwartokątny.