Ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny? Pięć trójek boków

Krok 1. Skąd test. Z twierdzenia cosinusów dla największego kąta $\gamma$ (naprzeciw najdłuższego boku $c$):

$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$

Mianownik jest dodatni, więc znak cosinusa zależy tylko od licznika. Porównujemy $c^2$ z $a^2 + b^2$: mniejsze - kąt ostry, równe - prosty, większe - rozwarty. Pozostałe dwa kąty są zawsze ostre, więc o rodzaju trójkąta decyduje właśnie kąt $\gamma$.

Krok 2. Najpierw nierówność trójkąta. W (e) $2 + 4 = 6 < 7$ - z takich odcinków trójkąta nie zbudujemy. W pozostałych przypadkach suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego.

Krok 3. Porównanie kwadratów.

Krok 4. Przypadek graniczny (c). Różnica to tylko $1$: $\cos\gamma = \frac{1}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{1}{144}$, więc największy kąt ma niewiele mniej niż $90^\circ$. Na rysunku trójkąt wyglądałby na prostokątny - rozstrzyga rachunek.

Uwaga: test robimy tylko dla najdłuższego boku. Gdyby w (d) porównać kwadrat boku $5$ z sumą pozostałych, wyszłoby $25 < 36 + 64$ i fałszywy wniosek „ostrokątny”. Dla krótszego boku ta nierówność zachodzi zawsze, więc nic nie mówi.

Odpowiedź. a) rozwartokątny; b) prostokątny; c) ostrokątny; d) rozwartokątny; e) taki trójkąt nie istnieje.