Boki 3, x, x + 1 i kąt 60° naprzeciw boku x - oblicz x

Krok 1. Twierdzenie cosinusów dla boku $x$. Kąt $60^\circ$ leży naprzeciw boku $x$, czyli między bokami $3$ i $x + 1$:

$x^2 = 3^2 + (x + 1)^2 - 2 \cdot 3 \cdot (x + 1) \cdot \cos 60^\circ.$

Krok 2. Upraszczamy. Z $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$x^2 = 9 + x^2 + 2x + 1 - 3(x + 1) = x^2 - x + 7.$

Kwadraty $x^2$ się redukują i zostaje równanie liniowe:

$0 = -x + 7 \quad\Longrightarrow\quad x = 7.$

Krok 3. Boki i nierówność trójkąta. Boki mają długości $3$, $7$ i $8$; $3 + 7 > 8$, więc trójkąt istnieje. Sprawdzenie kąta $\gamma$ naprzeciw boku $7$: $\cos\gamma = \frac{9 + 64 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$, czyli $\gamma = 60^\circ$ - zgadza się.

Krok 4. Rodzaj trójkąta. Największy kąt leży naprzeciw boku $8$, między bokami $3$ i $7$:

$\cos\beta = \frac{3^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{9 + 49 - 64}{42} = -\frac{6}{42} = -\frac{1}{7}.$

Cosinus jest ujemny, więc ten kąt jest rozwarty ($\beta \approx 98{,}21^\circ$). Ten sam wniosek daje szybki test: $64 > 9 + 49 = 58$.

Uwaga: łatwo przyjąć, że skoro jeden kąt ma $60^\circ$, trójkąt jest „ładny” i ostrokątny. Kąt $60^\circ$ nic nie mówi o pozostałych - o rodzaju trójkąta decyduje kąt naprzeciw najdłuższego boku.

Odpowiedź. $x = 7$ (boki $3$, $7$, $8$); trójkąt jest rozwartokątny.