Wszystkie kąty trójkąta o bokach 4, 6 i 8 (przybliżenia)

Krok 1. Plan. Naprzeciw najdłuższego boku leży największy kąt, naprzeciw najkrótszego - najmniejszy. Oba policzymy z twierdzenia cosinusów, trzeci z sumy kątów, a wzorem go sprawdzimy. Oznaczmy: $\alpha$ naprzeciw boku $4$, $\beta$ naprzeciw boku $6$, $\gamma$ naprzeciw boku $8$.

Krok 2. Największy kąt $\gamma$ (między bokami $4$ i $6$):

$\cos\gamma = \frac{4^2 + 6^2 - 8^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16 + 36 - 64}{48} = \frac{-12}{48} = -\frac{1}{4} = -0{,}25.$

Cosinus jest ujemny - kąt rozwarty, więc trójkąt nie jest ostrokątny. Kalkulator (funkcja $\cos^{-1}$) daje $\gamma \approx 104{,}48^\circ$.

Krok 3. Najmniejszy kąt $\alpha$ (między bokami $6$ i $8$):

$\cos\alpha = \frac{6^2 + 8^2 - 4^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{36 + 64 - 16}{96} = \frac{84}{96} = \frac{7}{8} = 0{,}875, \qquad \alpha \approx 28{,}96^\circ.$

Krok 4. Trzeci kąt z sumy:

$\beta \approx 180^\circ - 104{,}48^\circ - 28{,}96^\circ = 46{,}56^\circ.$

Krok 5. Kontrola wzorem.

$\cos\beta = \frac{4^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 8} = \frac{44}{64} = \frac{11}{16} = 0{,}6875, \qquad \beta \approx 46{,}57^\circ.$

Różnica $0{,}01^\circ$ bierze się z zaokrągleń w krokach 2 i 3 - dokładniejsza jest wartość policzona wprost ze wzoru.

Uwaga: przy kącie rozwartym kalkulator sam zwraca wynik większy od $90^\circ$, o ile wpiszesz ujemny cosinus. Wpisanie $0{,}25$ zamiast $-0{,}25$ daje $75{,}52^\circ$ - kąt przyległy.

Odpowiedź. $\alpha \approx 28{,}96^\circ$, $\beta \approx 46{,}57^\circ$, $\gamma \approx 104{,}48^\circ$ - trójkąt jest rozwartokątny.