Tabelka znaków mianownika - cztery granice jednostronne funkcji wymiernej

Krok 1. Miejsca zerowe mianownika. Trójmian $x^2 + 2x - 3$ ma pierwiastki $1$ i $-3$ (suma $-2$, iloczyn $-3$), więc

$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3).$

Funkcja nie jest określona w punktach $1$ i $-3$.

Krok 2. Licznik w tych punktach. Przy $x \to 1$ licznik dąży do $3$, a przy $x \to -3$ do $-1$. W obu przypadkach to liczba różna od zera, więc nie ma symbolu $\frac{0}{0}$ - wszystkie cztery granice jednostronne są nieskończone. Zostaje ustalić znaki.

Krok 3. Tabelka znaków. Czynnik, który dąży do zera, zmienia znak przy przejściu przez punkt; drugi czynnik ma stały znak:

Krok 4. Kontrola jednej wartości. $f(-3{,}01) = \frac{-1{,}01}{(-4{,}01) \cdot (-0{,}01)} = \frac{-1{,}01}{0{,}0401} \approx -25{,}2$ - wartość ujemna i duża co do modułu, zgodnie z tabelką.

Odpowiedź.

$\lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$

W żadnym z punktów granica obustronna nie istnieje; proste $x = -3$ i $x = 1$ są asymptotami pionowymi.