Parametr a decyduje o znaku granicy (x² + ax − 6)/(x − 2)² w punkcie 2

Krok 1. Granica licznika. Przy $x \to 2$ licznik dąży do

$2^2 + 2a - 6 = 2a - 2.$

Mianownik $(x - 2)^2$ dąży do $0^+$ z obu stron (jest kwadratem). O wszystkim decyduje więc znak liczby $2a - 2$ - i przypadek, gdy jest ona zerem.

Krok 2. Przypadek $2a - 2 > 0$, czyli $a > 1$. Liczba dodatnia przez $0^+$: $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$.

Krok 3. Przypadek $2a - 2 < 0$, czyli $a < 1$. Liczba ujemna przez $0^+$: $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = -\infty$.

Krok 4. Przypadek $a = 1$ - symbol $\frac{0}{0}$. Licznik $x^2 + x - 6$ zeruje się w $x = 2$, więc dzieli się przez $(x - 2)$:

$\frac{x^2 + x - 6}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{x + 3}{x - 2}$

Licznik dąży do $5$, a mianownik $x - 2$ zmienia znak przy przejściu przez $2$: $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \frac{5}{0^+} = +\infty$ oraz $\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = \frac{5}{0^-} = -\infty$. Granice jednostronne są różne, więc granica w punkcie $2$ nie istnieje.

Krok 5. Odpowiedź na pytanie b). W każdym przypadku granica jest nieskończona albo nie istnieje. Żeby była skończona, licznik musiałby dzielić się przez $(x - 2)^2$, czyli mieć w $2$ podwójny pierwiastek. Trójmian $x^2 + ax - 6$ ma iloczyn pierwiastków równy $-6$, więc podwójny pierwiastek $2$ dawałby iloczyn $4$ - to niemożliwe.

Odpowiedź. a) $+\infty$ dla $a > 1$, $-\infty$ dla $a < 1$ (dla $a = 1$ granica nie istnieje, bo granice jednostronne to $+\infty$ i $-\infty$); b) nie - dla żadnego $a$ granica nie jest skończona.