Granice jednostronne (√(x + 9) − 3)/x² w zerze - sprzężenie i nieskończoność

Krok 1. Dziedzina i próba podstawienia. Wyrażenie jest określone dla $x \geq -9$, $x \neq 0$, więc obie granice jednostronne mają sens. Podstawienie $x = 0$ daje $\frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}$ - symbol nieoznaczony.

Krok 2. Wyrażenie sprzężone. Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{x + 9} + 3$:

$\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^2} = \frac{(x + 9) - 9}{x^2\left(\sqrt{x + 9} + 3\right)} = \frac{x}{x^2\left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$

Krok 3. Skracamy przez $x$ ($x \neq 0$):

$\frac{x}{x^2\left(\sqrt{x + 9} + 3\right)} = \frac{1}{x\left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$

Pułapka: po skróceniu w mianowniku zostało jeszcze jedno $x$. Symbol $\frac{0}{0}$ zamienił się w „$\frac{1}{0}$”, więc granica będzie nieskończona.

Krok 4. Znak mianownika. Nawias $\sqrt{x + 9} + 3$ dąży do $6 > 0$. Znak mianownika zależy więc tylko od $x$:

• przy $x \to 0^+$ mianownik dąży do $0^+$, więc wyrażenie dąży do $\frac{1}{0^+} = +\infty$;
• przy $x \to 0^-$ mianownik dąży do $0^-$, więc wyrażenie dąży do $\frac{1}{0^-} = -\infty$.

Krok 5. Kontrola numeryczna. Dla $x = 0{,}01$: $\sqrt{9{,}01} - 3 \approx 0{,}0016662$, a po podzieleniu przez $0{,}0001$ wychodzi około $16{,}66$. Dla $x = -0{,}01$ wychodzi około $-16{,}67$. Zgodnie z wzorem z kroku 3 wartości zachowują się jak $\frac{1}{6x}$.

Odpowiedź.

$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^2} = -\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^2} = +\infty$

Granice jednostronne są różne, więc granica w punkcie $0$ nie istnieje.