Granica niewłaściwa w punkcie - liczba przez kwadrat dążący do zera

Krok 1. Przykład a) - próba podstawienia. Licznik dąży do $4 + 1 = 5$, a mianownik do $0$. To nie jest symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$: liczba różna od zera dzielona przez coraz mniejszą liczbę daje wartości coraz większe co do modułu. Granica jest nieskończona - trzeba ustalić znak.

Krok 2. Znak mianownika. $(x - 4)^2$ jest kwadratem, więc dla każdego $x \neq 4$ jest dodatni. Mianownik dąży do zera przez wartości dodatnie z obu stron: $(x - 4)^2 \to 0^+$.

Krok 3. Wynik a). Licznik dodatni, mianownik $0^+$:

$\lim_{x \to 4} \frac{x + 1}{(x - 4)^2} = \frac{5}{0^+} = +\infty$

Na przykład dla $x = 4{,}01$ wartość to $\frac{5{,}01}{0{,}0001} = 50\,100$.

Krok 4. Przykład b). Licznik dąży do $0 - 3 = -3$, a mianownik $x^4$ (potęga parzysta) dąży do $0^+$ z obu stron. Liczba ujemna przez $0^+$ daje $-\infty$:

$\lim_{x \to 0} \frac{x - 3}{x^4} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$

Krok 5. Dlaczego granice obustronne istnieją? W obu przykładach mianownik ma ten sam znak po obu stronach punktu, więc granice jednostronne są równe - i to jest granica obustronna (niewłaściwa).

Odpowiedź. a) $+\infty$; b) $-\infty$.