Symbol 0/0, który po skróceniu daje nieskończoność - sześcian w mianowniku

Krok 1. Próba podstawienia. Licznik: $1 - 3 + 2 = 0$. Mianownik: $-1 + 3 - 3 + 1 = 0$. Symbol $\frac{0}{0}$ - o granicy nic jeszcze nie wiadomo. Oba wielomiany dzielą się przez $(x + 1)$.

Krok 2. Rozkład licznika. Trójmian ma pierwiastki $-1$ i $-2$:

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).$

Krok 3. Rozkład mianownika - wzór na sześcian sumy $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3.$

Krok 4. Skracamy (przy liczeniu granicy $x \neq -1$):

$\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)^3} = \frac{x + 2}{(x + 1)^2}$

Krok 5. Teraz to już przypadek „liczba przez zero”. Licznik dąży do $-1 + 2 = 1 > 0$, a mianownik $(x + 1)^2$ jest kwadratem, więc dąży do $0^+$ z obu stron:

$\lim_{x \to -1} \frac{x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$

Krok 6. Morał. Symbol $\frac{0}{0}$ nie oznacza, że granica jest skończona. Po skróceniu w mianowniku został czynnik $(x + 1)^2$, który nadal dąży do zera - stąd nieskończoność. Gdyby mianownik zawierał $(x + 1)$ tylko w pierwszej potędze, wynik byłby zwykłą liczbą.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} = +\infty$.