Granice jednostronne nieskończone funkcji (2x − 1)/(x + 3) w punkcie −3

Krok 1. Licznik. Przy $x \to -3$ licznik dąży do $2 \cdot (-3) - 1 = -7$ - liczby ujemnej. Mianownik dąży do zera, więc obie granice jednostronne są nieskończone.

Krok 2. Granica prawostronna. Dla $x$ trochę większych od $-3$ (np. $x = -2{,}99$) mianownik $x + 3$ jest małą liczbą dodatnią: $x + 3 \to 0^+$. Liczba ujemna przez $0^+$:

$\lim_{x \to -3^+} \frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{-7}{0^+} = -\infty$

Krok 3. Granica lewostronna. Dla $x$ trochę mniejszych od $-3$ (np. $x = -3{,}01$) mianownik jest małą liczbą ujemną: $x + 3 \to 0^-$. Liczba ujemna przez liczbę ujemną daje wynik dodatni:

$\lim_{x \to -3^-} \frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{-7}{0^-} = +\infty$

Sprawdzenie: $f(-3{,}01) = \frac{-7{,}02}{-0{,}01} = 702$, a $f(-2{,}99) = \frac{-6{,}98}{0{,}01} = -698$.

Krok 4. Granica obustronna. Granice jednostronne są różne ($+\infty$ i $-\infty$), więc granica $\lim\limits_{x \to -3} f(x)$ nie istnieje - ani skończona, ani niewłaściwa.

Krok 5. Wniosek o wykresie. Skoro wartości uciekają do nieskończoności przy $x \to -3$, prosta $x = -3$ jest asymptotą pionową wykresu. Zwróć uwagę na pułapkę: znak minus w liczniku odwraca „zwykły” układ - to z lewej strony wykres ucieka w górę.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -3^-} f(x) = +\infty$, $\lim\limits_{x \to -3^+} f(x) = -\infty$; granica $\lim\limits_{x \to -3} f(x)$ nie istnieje.