Granice niewłaściwe wielomianów i ilorazu w ±∞ - wyraz najwyższego stopnia

Krok 1. Przykład a) - wyłączamy wyraz najwyższego stopnia:

$2x^3 + 9x^2 - 1 = 2x^3\left(1 + \frac{9}{2x} - \frac{1}{2x^3}\right)$

Nawias dąży do $1$. Przy $x \to -\infty$ potęga nieparzysta $x^3 \to -\infty$, więc $2x^3 \to -\infty$. Wynik: $-\infty$. Składnik $9x^2$ (dodatni i duży) niczego nie zmienia - rośnie wolniej niż $|2x^3|$.

Krok 2. Przykład b). Wyrażenie to $\infty - \infty$, ale wyłączenie $x^2$ rozstrzyga sprawę:

$x^2 - 100x - 7 = x^2\left(1 - \frac{100}{x} - \frac{7}{x^2}\right) \longrightarrow (+\infty) \cdot 1 = +\infty$

Nie zmyl się wartościami początkowymi: np. dla $x = 50$ wyrażenie wynosi $2500 - 5000 - 7 = -2507$. Dopiero dla $x > 100{,}07$ wartości stają się dodatnie, a potem rosną bez ograniczenia. Granica zależy od zachowania dla bardzo dużych $x$.

Krok 3. Przykład c) - dzielimy przez $x^3$ (najwyższa potęga w mianowniku):

$\frac{2x^4 - x}{3x^3 + 5} = \frac{2x - \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{5}{x^3}}$

Mianownik dąży do $3$, a licznik do $-\infty$ (bo $2x \to -\infty$ przy $x \to -\infty$). Liczba $-\infty$ podzielona przez $3 > 0$ daje $-\infty$.

Krok 4. Skrót do kontroli znaku. Iloraz wyrazów najwyższego stopnia to $\frac{2x^4}{3x^3} = \frac{2}{3}x$, a to przy $x \to -\infty$ dąży do $-\infty$ - zgadza się.

Odpowiedź. a) $-\infty$; b) $+\infty$; c) $-\infty$.