Graniastosłup prawidłowy trójkątny - wysokość z przekątnej ściany bocznej

Szkoła średnia średnie

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCA_1B_1C_1$ krawędź podstawy ma długość $6$ , a przekątna ściany bocznej - długość $10$ . Punkt $M$ jest środkiem krawędzi $BC$ .

a) Oblicz wysokość graniastosłupa.

b) Oblicz długość odcinka $A_1M$ .

Graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 6. Przekątna ściany bocznej AB₁ = 10, M - środek krawędzi BC.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Ściana boczna. Graniastosłup prawidłowy jest prosty, więc jego ściany boczne to prostokąty. Ściana $ABB_1A_1$ ma boki $6$ i $H$ , a przekątną $10$ :

$H = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8.$

Krok 2. Odcinek AM. W trójkącie równobocznym $ABC$ odcinek $AM$ łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, więc jest wysokością trójkąta:

$|AM| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$

Krok 3. Trójkąt AMA₁. Krawędź $AA_1$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc $AA_1 \perp AM$ . Odcinek $A_1M$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego $AMA_1$ :

$|A_1M| = \sqrt{|AA_1|^2 + |AM|^2} = \sqrt{64 + 27} = \sqrt{91}.$

Odpowiedź. a) Wysokość graniastosłupa jest równa $8$ . b) $|A_1M| = \sqrt{91}$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →