Zależności a, b: oblicz ab i (a − b)², gdy a + b = 10 i a² + b² = 58

Szkoła średnia trudne

Liczby $a$ i $b$ spełniają warunki $a + b = 10$ oraz $a^2 + b^2 = 58$ . Oblicz $ab$ oraz $(a - b)^2$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Obliczamy $ab$ ze wzoru na kwadrat sumy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Podstawiamy dane:

$10^2 = 58 + 2ab \quad\Rightarrow\quad 100 = 58 + 2ab.$

Stąd:

$2ab = 100 - 58 = 42 \quad\Rightarrow\quad ab = 21.$

Krok 2. Obliczamy $(a - b)^2$ ze wzoru na kwadrat różnicy:

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 58 - 2 \cdot 21 = 58 - 42.$

Krok 3. Obliczamy:

$(a - b)^2 = 16.$

Odpowiedź. $ab = 21$ oraz $(a - b)^2 = 16.$