Zależności a, b: oblicz |a + b| i |a − b|, gdy a² + b² = 29 i ab = 10

Krok 1. Obliczamy $(a + b)^2$. Ze wzoru na kwadrat sumy:

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 29 + 2 \cdot 10 = 29 + 20 = 49.$

Krok 2. Obliczamy $(a - b)^2$. Ze wzoru na kwadrat różnicy:

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 29 - 2 \cdot 10 = 29 - 20 = 9.$

Krok 3. Wyciągamy pierwiastki. Z równości $t^2 = k$ (dla $k \ge 0$) wynika $|t| = \sqrt{k}$, dlatego od razu otrzymujemy wartości bezwzględne:

$|a + b| = \sqrt{49} = 7, \qquad |a - b| = \sqrt{9} = 3.$

(Nie znamy znaków $a + b$ ani $a - b$, ale ich wartości bezwzględne są wyznaczone jednoznacznie.)

Odpowiedź. $|a + b| = 7$ oraz $|a - b| = 3.$