Twierdzenie sinusów: oblicz bok b, gdy a = 6, α = 45°, β = 60°

Krok 1. Pary „bok - kąt naprzeciw”. Bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, a bok $b$ - naprzeciw kąta $\beta$. Obie pary są w jednej proporcji twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.$

Krok 2. Wyznaczamy $b$. Mnożymy obie strony przez $\sin\beta$:

$b = \frac{a \sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$

Krok 3. Usuwamy niewymierność z mianownika:

$b = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}35.$

Krok 4. Kontrola. Kąt $\beta = 60^\circ$ jest większy od $\alpha = 45^\circ$, więc bok $b$ musi być dłuższy od $a = 6$. Wyszło $b \approx 7{,}35 > 6$ - zgadza się.

Odpowiedź. $b = 3\sqrt{6} \approx 7{,}35$.