Kąt z sinusa: sin α = 1/2, czyli 30° czy 150°? (b = 6, β = 135°, a = 3√2)

Krok 1. Proporcja z twierdzenia sinusów. Pełną parę tworzą $b$ i $\beta$:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \quad\Longrightarrow\quad \sin\alpha = \frac{a \sin\beta}{b}.$

Krok 2. Liczymy sinus. $\sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, więc

$\sin\alpha = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$

Krok 3. Dwa kandydaty. Równanie $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ ma w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$ dwa rozwiązania:

$\alpha = 30^\circ \qquad \text{albo} \qquad \alpha = 150^\circ.$

Krok 4. Odrzucamy kandydata, który się nie mieści. Kąty trójkąta sumują się do $180^\circ$, a $135^\circ + 150^\circ = 285^\circ > 180^\circ$. Zostaje tylko $\alpha = 30^\circ$. Wynika to też z zasady „naprzeciw większego boku większy kąt”: $a = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 < b = 6$, więc $\alpha < \beta$, a w trójkącie może być tylko jeden kąt rozwarty.

Krok 5. Trzeci kąt:

$\gamma = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ.$

Uwaga: odpowiedź „$\alpha = 30^\circ$ lub $\alpha = 150^\circ$” bez sprawdzenia jest błędna. Dyskusję drugiego kandydata trzeba przeprowadzić zawsze, gdy kąt liczymy z sinusa.

Odpowiedź. $\alpha = 30^\circ$, $\gamma = 15^\circ$.