Bok i dwa kąty przy nim: c = 10, α = 30°, β = 105° - oblicz a i b

Krok 1. Trzeci kąt. Oba dane kąty leżą przy boku $c$, a do twierdzenia sinusów potrzebujemy kąta naprzeciw niego. To kąt $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ.$

Krok 2. Stosunek z pełnej pary. Znamy bok $c$ i kąt $\gamma$ naprzeciw niego:

$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}.$

Ta liczba to $2R$ - ten sam stosunek obowiązuje dla każdego boku.

Krok 3. Bok $a$ (naprzeciw $\alpha = 30^\circ$):

$a = 10\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07.$

Krok 4. Bok $b$ (naprzeciw $\beta = 105^\circ$). Sinus kąta rozwartego jest równy sinusowi kąta przyległego: $\sin 105^\circ = \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. Zatem

$b = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{10(\sqrt{12} + 2)}{4} = \frac{10(2\sqrt{3} + 2)}{4} = 5(\sqrt{3} + 1) \approx 13{,}66.$

Krok 5. Kontrola. Najdłuższy bok $b \approx 13{,}66$ leży naprzeciw największego kąta ($105^\circ$), a najkrótszy $a \approx 7{,}07$ - naprzeciw najmniejszego ($30^\circ$). Zgadza się.

Uwaga: typowy błąd to wstawienie do proporcji $\frac{10}{\sin 30^\circ}$ albo $\frac{10}{\sin 105^\circ}$ - żaden z tych kątów nie leży naprzeciw boku $c = 10$.

Odpowiedź. $a = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$, $b = 5(\sqrt{3} + 1) \approx 13{,}66$.