Kąty trójkąta w stosunku 2 : 3 : 7 - stosunek boków i promień okręgu

Krok 1. Miary kątów. Kąty to $2k$, $3k$, $7k$, a ich suma wynosi $180^\circ$:

$2k + 3k + 7k = 12k = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad k = 15^\circ.$

Kąty mają więc $30^\circ$, $45^\circ$ i $105^\circ$.

Krok 2. Boki są proporcjonalne do sinusów, nie do kątów. Z twierdzenia sinusów $a = 2R\sin\alpha$, $b = 2R\sin\beta$, $c = 2R\sin\gamma$, więc

$a : b : c = \sin 30^\circ : \sin 45^\circ : \sin 105^\circ = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$

Uwaga: odpowiedź „$2 : 3 : 7$” jest błędna - boki nie rosną proporcjonalnie do kątów.

Krok 3. Upraszczamy stosunek. Mnożymy wszystkie wyrazy przez $2$:

$a : b : c = 1 : \sqrt{2} : \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \approx 1 : 1{,}414 : 1{,}932.$

Krok 4. b) Średnica okręgu opisanego. Najkrótszy bok leży naprzeciw najmniejszego kąta, więc $a = 4$ i $\alpha = 30^\circ$:

$2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \quad\Longrightarrow\quad R = 4.$

Krok 5. Pozostałe boki:

$b = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66, \qquad c = 8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 7{,}73.$

Wyniki zgadzają się ze stosunkiem z kroku 3: $4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ oraz $4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})$.

Odpowiedź. a) $a : b : c = 1 : \sqrt{2} : \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$; b) $b = 4\sqrt{2}$, $c = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 7{,}73$, $R = 4$.