Udowodnij twierdzenie o dwusiecznej z twierdzenia sinusów

Krok 1. Oznaczenia. Dwusieczna dzieli kąt $C$ na dwa równe kąty $|\sphericalangle ACD| = |\sphericalangle DCB| = \varphi$. Niech $|\sphericalangle ADC| = \delta$. Kąty $ADC$ i $BDC$ są przyległe, więc $|\sphericalangle BDC| = 180^\circ - \delta$.

Krok 2. Twierdzenie sinusów w trójkącie $ADC$. Bok $AD$ leży naprzeciw kąta $\varphi$, a bok $AC$ - naprzeciw kąta $\delta$:

$\frac{|AD|}{\sin\varphi} = \frac{|AC|}{\sin\delta} \quad\Longrightarrow\quad |AD| = \frac{|AC| \sin\varphi}{\sin\delta}.$

Krok 3. Twierdzenie sinusów w trójkącie $BDC$. Bok $DB$ leży naprzeciw kąta $\varphi$, a bok $BC$ - naprzeciw kąta $180^\circ - \delta$:

$|DB| = \frac{|BC| \sin\varphi}{\sin(180^\circ - \delta)} = \frac{|BC| \sin\varphi}{\sin\delta},$

bo $\sin(180^\circ - \delta) = \sin\delta$. To kluczowy moment dowodu: kąty przyległe mają równe sinusy, choć jeden z nich może być rozwarty.

Krok 4. Dzielimy stronami. Czynnik $\frac{\sin\varphi}{\sin\delta}$ jest w obu wzorach ten sam i się skraca:

$\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC| \sin\varphi / \sin\delta}{|BC| \sin\varphi / \sin\delta} = \frac{|AC|}{|BC|}.$

Krok 5. Przykład liczbowy. Jeśli $|AC| = 6$, $|BC| = 9$ i $|AB| = 10$, to $D$ dzieli $AB$ w stosunku $6 : 9 = 2 : 3$, czyli $|AD| = 4$ i $|DB| = 6$.

Odpowiedź. Z twierdzenia sinusów w trójkątach $ADC$ i $BDC$ oraz równości $\sin(180^\circ - \delta) = \sin\delta$ wynika $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}$, co należało udowodnić.