Dwa trójkąty z jednych danych: a = 4, b = 4√3, α = 30°

Krok 1. Sinus kąta $\beta$. Z twierdzenia sinusów

$\sin\beta = \frac{b \sin\alpha}{a} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Krok 2. Dwa kandydaty: $\beta_1 = 60^\circ$ albo $\beta_2 = 120^\circ$.

Krok 3. Czy oba się mieszczą? Sprawdzamy sumę z kątem $\alpha$: $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ < 180^\circ$ oraz $30^\circ + 120^\circ = 150^\circ < 180^\circ$. Oba są dobre - dany kąt leży naprzeciw krótszego boku ($a = 4 < b \approx 6{,}93$), więc tego należało się spodziewać.

Krok 4. Pierwszy trójkąt ($\beta_1 = 60^\circ$). Trzeci kąt $\gamma_1 = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$ - trójkąt jest prostokątny. Bok $c$ liczymy z $2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$:

$c_1 = 2R \sin\gamma_1 = 8 \cdot \sin 90^\circ = 8.$

Sprawdzenie Pitagorasem: $4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Krok 5. Drugi trójkąt ($\beta_2 = 120^\circ$). Trzeci kąt $\gamma_2 = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$, czyli $\gamma_2 = \alpha$ - trójkąt jest równoramienny:

$c_2 = 8 \cdot \sin 30^\circ = 4.$

Odpowiedź. Istnieją dwa trójkąty: $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 90^\circ$, $c = 8$ albo $\beta = 120^\circ$, $\gamma = 30^\circ$, $c = 4$.