Ile jest trójkątów? α = 45°, b = 6√2, a = 5, 6, 7 lub 10

Krok 1. Wzór ogólny. Z twierdzenia sinusów

$\sin\beta = \frac{b \sin\alpha}{a} = \frac{6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{6}{a}.$

Licznik $6$ ma prosty sens: to $h = b\sin\alpha$, czyli odległość punktu $C$ od drugiego ramienia kąta $\alpha$. Bok $a$ musi do tego ramienia „sięgnąć”.

Krok 2. a) $a = 5$. $\sin\beta = \frac{6}{5} = 1{,}2 > 1$. Żaden kąt nie ma takiego sinusa - trójkąta nie ma. Bok $5$ jest krótszy niż odległość $h = 6$ i nie sięga ramienia.

Krok 3. b) $a = 6$. $\sin\beta = 1$, więc $\beta = 90^\circ$. Jest dokładnie jeden trójkąt, prostokątny ($\gamma = 45^\circ$) - bok $a$ jest wtedy wysokością $CD$ z rysunku.

Krok 4. c) $a = 7$. $\sin\beta = \frac{6}{7} \approx 0{,}8571$, stąd $\beta_1 \approx 58{,}99^\circ$ albo $\beta_2 = 180^\circ - \beta_1 \approx 121{,}01^\circ$. Oba mieszczą się obok kąta $45^\circ$ ($45^\circ + 121{,}01^\circ = 166{,}01^\circ < 180^\circ$) - są dwa trójkąty ($AB_1C$ i $AB_2C$ na rysunku). Tak jest zawsze, gdy $h < a < b$, a tu $6 < 7 < 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$.

Krok 5. d) $a = 10$. $\sin\beta = 0{,}6$, stąd $\beta_1 \approx 36{,}87^\circ$ albo $\beta_2 \approx 143{,}13^\circ$. Drugi kandydat odpada: $45^\circ + 143{,}13^\circ = 188{,}13^\circ > 180^\circ$. Jest jeden trójkąt. Bok $a = 10$ jest dłuższy od $b$, więc kąt naprzeciw $b$ musi być mniejszy od $45^\circ$ - kąt rozwarty nie wchodzi w grę.

Odpowiedź. a) brak trójkąta; b) jeden trójkąt, $\beta = 90^\circ$; c) dwa trójkąty, $\beta \approx 58{,}99^\circ$ albo $\beta \approx 121{,}01^\circ$; d) jeden trójkąt, $\beta \approx 36{,}87^\circ$.