Rozkład na sumę ułamków: wyznacz A i B, gdy (5x + 4)/(x² + x − 2) = A/(x − 1) + B/(x + 2)

Krok 1. Rozkład mianownika lewej strony. $\Delta = 1 + 8 = 9$, pierwiastki $x = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ i $x = \frac{-1 + 3}{2} = 1$:

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2).$

To wyjaśnia, skąd po prawej mianowniki $x - 1$ i $x + 2$ oraz skąd dziedzina.

Krok 2. Dodajemy ułamki po prawej stronie. Wspólny mianownik to $(x - 1)(x + 2)$:

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{A(x + 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{(A + B)x + (2A - B)}{(x - 1)(x + 2)}.$

Krok 3. Porównujemy liczniki. Mianowniki obu stron są równe, więc równe muszą być liczniki, czyli wielomiany $5x + 4$ i $(A + B)x + (2A - B)$. Wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach:

$\begin{cases} A + B = 5 \\ 2A - B = 4 \end{cases}$

Krok 4. Rozwiązujemy układ. Dodajemy równania stronami: $3A = 9$, czyli $A = 3$, a stąd $B = 5 - 3 = 2$.

Krok 5. Sprawdzenie. $\frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3x + 6 + 2x - 2}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{5x + 4}{x^2 + x - 2}$. Zgadza się.

Uwaga: szybszy sposób to podstawienie do równości liczników $5x + 4 = A(x + 2) + B(x - 1)$ kolejno $x = 1$ (wtedy $9 = 3A$) i $x = -2$ (wtedy $-6 = -3B$). Wolno to zrobić, choć te liczby są poza dziedziną ułamków, bo równość wielomianów w liczniku zachodzi dla każdego $x$.

Odpowiedź. $A = 3$, $B = 2$, czyli $\dfrac{5x + 4}{x^2 + x - 2} = \dfrac{3}{x - 1} + \dfrac{2}{x + 2}$.