Mianowniki przeciwne x − 4 i 4 − x: x²/(x − 4) + 16/(4 − x) − (x² − 8)/x

Krok 1. Dziedzina. Mianowniki: $x - 4 \neq 0$, $4 - x \neq 0$ (to ten sam warunek) i $x \neq 0$. Zatem $x \notin \{0,\ 4\}$.

Krok 2. Mianowniki przeciwne. $4 - x = -(x - 4)$, więc $\frac{16}{4 - x} = -\frac{16}{x - 4}$. Dwa pierwsze ułamki mają teraz ten sam mianownik:

$\frac{x^2}{x - 4} - \frac{16}{x - 4} = \frac{x^2 - 16}{x - 4} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4.$

Uwaga: nie trzeba mnożyć $(x - 4)(4 - x)$ - wystarczy zmienić znak przed ułamkiem.

Krok 3. Odejmujemy trzeci ułamek. Wielomian $x + 4$ rozszerzamy do mianownika $x$:

$x + 4 - \frac{x^2 - 8}{x} = \frac{x(x + 4) - (x^2 - 8)}{x} = \frac{x^2 + 4x - x^2 + 8}{x} = \frac{4x + 8}{x}.$

Krok 4. Sprawdzenie dla $x = 2$. Wyrażenie wyjściowe: $\frac{4}{-2} + \frac{16}{2} - \frac{-4}{2} = -2 + 8 + 2 = 8$. Wynik: $\frac{8 + 8}{2} = 8$. Zgadza się.

Odpowiedź. $\dfrac{4x + 8}{x} = \dfrac{4(x + 2)}{x}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{0,\ 4\}$.