Różnica wyrażeń wymiernych: 4/(x + 3) − 1/(x − 2)

Krok 1. Dziedzina. $x + 3 \neq 0$ i $x - 2 \neq 0$, czyli $x \neq -3$ i $x \neq 2$.

Krok 2. Wspólny mianownik. Mianowniki $x + 3$ i $x - 2$ nie mają wspólnego czynnika, więc wspólnym mianownikiem jest ich iloczyn $(x + 3)(x - 2)$. Pierwszy ułamek rozszerzamy przez $(x - 2)$, drugi przez $(x + 3)$:

$\frac{4(x - 2)}{(x + 3)(x - 2)} - \frac{x + 3}{(x + 3)(x - 2)}.$

Krok 3. Odejmujemy liczniki (drugi w nawiasie):

$\frac{4(x - 2) - (x + 3)}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{4x - 8 - x - 3}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{3x - 11}{(x + 3)(x - 2)}.$

Krok 4. Czy coś się skraca? Licznik zeruje się tylko dla $x = \frac{11}{3}$, a mianownik dla $-3$ i $2$ - wspólnego czynnika nie ma. Mianownika nie wymnażamy: z postaci iloczynowej od razu widać dziedzinę.

Odpowiedź. $\dfrac{3x - 11}{(x + 3)(x - 2)}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 2\}$.