Trzy ułamki: (x + 1)/(x − 1) − (x − 1)/(x + 1) − 4/(x² − 1)

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, a pozostałe mianowniki to właśnie te czynniki. Zatem $x \neq 1$ i $x \neq -1$.

Krok 2. Wspólny mianownik to $(x - 1)(x + 1)$: pierwszy ułamek rozszerzamy przez $(x + 1)$, drugi przez $(x - 1)$, trzeci już go ma.

$\frac{(x + 1)^2 - (x - 1)^2 - 4}{(x - 1)(x + 1)}.$

Krok 3. Licznik. Ze wzorów skróconego mnożenia $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ i $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$, więc

$(x + 1)^2 - (x - 1)^2 - 4 = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 - 4 = 4x - 4 = 4(x - 1).$

Szybciej: różnica kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ daje $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 2 \cdot 2x = 4x$.

Uwaga: odejmując $(x - 1)^2$, zmieniamy znak wszystkich trzech wyrazów rozwinięcia - stąd $+2x$ i $-1$.

Krok 4. Skracamy przez $(x - 1)$:

$\frac{4(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{x + 1}.$

Odpowiedź. $\dfrac{4}{x + 1}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1\}$. Liczba $1$ nadal jest wykluczona, choć zniknęła z mianownika.