Wspólny mianownik z czynnikiem w kwadracie: 3/(x² − x − 6) + 1/(x² + 4x + 4)

Krok 1. Rozkładamy mianowniki. Dla $x^2 - x - 6$: $\Delta = 1 + 24 = 25$, pierwiastki $x = \frac{1 - 5}{2} = -2$ i $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$. Drugi mianownik to kwadrat sumy:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2), \qquad x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2.$

Krok 2. Dziedzina. $x \neq 3$ i $x \neq -2$.

Krok 3. NWW. Czynniki to $(x - 3)$ w pierwszej potędze i $(x + 2)$ w najwyższej, czyli drugiej:

$\operatorname{NWW} = (x - 3)(x + 2)^2.$

Pierwszemu ułamkowi brakuje jednego czynnika $(x + 2)$, drugiemu - czynnika $(x - 3)$.

Krok 4. Rozszerzamy i dodajemy.

$\frac{3(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)^2} + \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 + x - 3}{(x - 3)(x + 2)^2} = \frac{4x + 3}{(x - 3)(x + 2)^2}.$

Krok 5. Skracanie. Licznik zeruje się tylko dla $x = -\frac{3}{4}$, więc z mianownikiem nie ma wspólnego czynnika.

Uwaga: iloczyn mianowników $(x - 3)(x + 2) \cdot (x + 2)^2$ zawiera $(x + 2)$ trzy razy - rachunek byłby dłuższy, a wynik i tak trzeba by skrócić.

Odpowiedź. $\dfrac{4x + 3}{(x - 3)(x + 2)^2}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 3\}$.