Różnica dwóch pierwiastków - granica 4 w +∞ i −4 w −∞

Krok 1. Dziedzina. Oba wyrażenia pod pierwiastkami muszą być nieujemne:

• $x^2 + 5x = x(x + 5) \geq 0 \iff x \in (-\infty;\ -5\rangle \cup \langle 0;\ +\infty)$,
• $x^2 - 3x = x(x - 3) \geq 0 \iff x \in (-\infty;\ 0\rangle \cup \langle 3;\ +\infty)$.

Część wspólna: $D_f = (-\infty;\ -5\rangle \cup \{0\} \cup \langle 3;\ +\infty)$. Funkcja jest określona dla dowolnie dużych i dowolnie małych $x$, więc obie granice mają sens.

Krok 2. Symbol $\infty - \infty$ i wyrażenie sprzężone. Oba pierwiastki rosną nieograniczenie. Mnożymy i dzielimy przez ich sumę:

$f(x) = \frac{(x^2 + 5x) - (x^2 - 3x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{x^2 - 3x}} = \frac{8x}{\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{x^2 - 3x}}$

Krok 3. Wyłączamy $|x|$ spod pierwiastków:

$f(x) = \frac{8x}{|x|\left(\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + \sqrt{1 - \frac{3}{x}}\right)}$

Nawias dąży do $1 + 1 = 2$ w obu nieskończonościach. O wyniku decyduje ułamek $\frac{x}{|x|}$.

Krok 4. Granica w $+\infty$. Dla $x > 0$ jest $\frac{x}{|x|} = 1$:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{8}{2} = 4$

Krok 5. Granica w $-\infty$. Dla $x < 0$ jest $\frac{x}{|x|} = -1$:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{-8}{2} = -4$

Krok 6. Interpretacja. Wykres ma dwie różne asymptoty poziome: $y = 4$ w $+\infty$ i $y = -4$ w $-\infty$. Dla ujemnych $x$ wynik musi być ujemny, bo wtedy $x^2 + 5x < x^2 - 3x$, czyli pierwszy pierwiastek jest mniejszy od drugiego.

Odpowiedź. a) $D_f = (-\infty;\ -5\rangle \cup \{0\} \cup \langle 3;\ +\infty)$; b) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 4$, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -4$.