Granice w minus nieskończoności - licznik niższego stopnia i równe stopnie

Krok 1. Przykład a) - dzielimy przez $x^3$ (najwyższa potęga w mianowniku):

$\frac{4x - 7}{2x^3 + x} = \frac{\frac{4}{x^2} - \frac{7}{x^3}}{2 + \frac{1}{x^2}}$

Licznik dąży do $0 - 0 = 0$, mianownik do $2$. Zatem

$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x - 7}{2x^3 + x} = \frac{0}{2} = 0.$

Krok 2. Przykład b) - dzielimy przez $x^2$:

$\frac{1 - 3x^2}{x^2 + 2x} = \frac{\frac{1}{x^2} - 3}{1 + \frac{2}{x}} \longrightarrow \frac{0 - 3}{1 + 0} = -3$

Krok 3. Dlaczego minus nieskończoność nic nie zmienia? W obu przykładach po podzieleniu zostają tylko stałe i ułamki $\frac{c}{x^k}$, a te dążą do zera niezależnie od tego, czy $x$ rośnie do $+\infty$, czy maleje do $-\infty$. Znak $x$ zaczyna mieć znaczenie dopiero wtedy, gdy po podzieleniu zostaje samo $x$ (licznik wyższego stopnia) albo gdy w wyrażeniu jest pierwiastek.

Odpowiedź. a) $0$; b) $-3$.