Granica √(4x² − 6x + 1) − 2x w nieskończoności - wyrażenie sprzężone

Krok 1. Rozpoznajemy symbol. Oba składniki rosną nieograniczenie: $\sqrt{4x^2 - 6x + 1} \to +\infty$ i $2x \to +\infty$. To symbol $\infty - \infty$ - wynik może być dowolny, trzeba przekształcić wyrażenie.

Krok 2. Mnożymy i dzielimy przez wyrażenie sprzężone $\sqrt{4x^2 - 6x + 1} + 2x$. W liczniku powstaje różnica kwadratów:

$\sqrt{4x^2 - 6x + 1} - 2x = \frac{(4x^2 - 6x + 1) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 - 6x + 1} + 2x} = \frac{-6x + 1}{\sqrt{4x^2 - 6x + 1} + 2x}$

Wyrazy $4x^2$ się zredukowały - dokładnie po to mnożyliśmy przez sprzężenie.

Krok 3. Dzielimy licznik i mianownik przez $x$. Dla $x > 0$ jest $\sqrt{4x^2 - 6x + 1} = x\sqrt{4 - \frac{6}{x} + \frac{1}{x^2}}$, więc

$\frac{-6x + 1}{\sqrt{4x^2 - 6x + 1} + 2x} = \frac{-6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{6}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2} \longrightarrow \frac{-6}{2 + 2} = -\frac{3}{2}$

Krok 4. Czy ujemny wynik ma sens? Tak: $4x^2 - 6x + 1 < 4x^2$ dla dużych $x$, więc pierwiastek jest nieco mniejszy od $2x$ i różnica jest ujemna. Dla $x = 1000$ wynosi około $-1{,}5003$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2 - 6x + 1} - 2x\right) = -\frac{3}{2}$.