Granica x + √(x² − 4x) w minus nieskończoności - sprzężenie przy ujemnym x

Krok 1. Rozpoznajemy symbol. Dla $x \to -\infty$ składnik $x$ dąży do $-\infty$, a $\sqrt{x^2 - 4x}$ do $+\infty$. To symbol $\infty - \infty$. (Wyrażenie jest określone dla $x \leq 0$ i $x \geq 4$, więc granice w obu nieskończonościach mają sens.)

Krok 2. Wyrażenie sprzężone. Mnożymy i dzielimy przez $\sqrt{x^2 - 4x} - x$ - tę samą parę składników z przeciwnym znakiem między nimi:

$x + \sqrt{x^2 - 4x} = \frac{\left(\sqrt{x^2 - 4x}\right)^2 - x^2}{\sqrt{x^2 - 4x} - x} = \frac{-4x}{\sqrt{x^2 - 4x} - x}$

Przy $x \to -\infty$ mianownik jest sumą dwóch dużych liczb dodatnich (pierwiastek i $-x$), więc nie zeruje się - przekształcenie jest poprawne.

Krok 3. Wyłączamy $|x|$ - tu $|x| = -x$. Dla $x < 0$:

$\sqrt{x^2 - 4x} = |x|\sqrt{1 - \frac{4}{x}} = -x\sqrt{1 - \frac{4}{x}}$

Mianownik przyjmuje postać $-x\sqrt{1 - \frac{4}{x}} - x = -x\left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1\right)$.

Krok 4. Skracamy przez $-x$ i przechodzimy do granicy:

$\frac{-4x}{-x\left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1\right)} = \frac{4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1} \longrightarrow \frac{4}{1 + 1} = 2$

Krok 5. Granica w $+\infty$. Tu symbolu nieoznaczonego nie ma: $x \to +\infty$ i $\sqrt{x^2 - 4x} \to +\infty$, a suma dwóch wyrażeń dążących do $+\infty$ dąży do $+\infty$.

Krok 6. Typowy błąd. Kto napisze $\sqrt{x^2 - 4x} = x\sqrt{1 - \frac{4}{x}}$ także dla ujemnych $x$, dostanie w mianowniku $x\left(\sqrt{1 - \frac{4}{x}} - 1\right)$, a po skróceniu przez $x$ ułamek $\frac{-4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} - 1}$ z mianownikiem dążącym do $0^+$ - czyli błędny wynik $-\infty$. Kontrola numeryczna: dla $x = -1000$ wyrażenie ma wartość około $1{,}998$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(x + \sqrt{x^2 - 4x}\right) = 2$, a przy $x \to +\infty$ granica jest niewłaściwa i wynosi $+\infty$.