Granica z pierwiastkiem w liczniku w ±∞ - pułapka √(x²) = |x|

Krok 1. Dziedzina w okolicach nieskończoności. Wyrażenie $16x^2 + 3x = x(16x + 3)$ jest dodatnie dla $x > 0$ i dla $x < -\frac{3}{16}$, więc funkcja jest określona dla dowolnie dużych i dowolnie małych $x$ (poza $x = -\frac{5}{2}$). Obie granice mają sens.

Krok 2. Wyłączamy $x^2$ spod pierwiastka. Pamiętamy, że $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{16x^2 + 3x} = \sqrt{x^2\left(16 + \frac{3}{x}\right)} = |x|\sqrt{16 + \frac{3}{x}}$

Krok 3. Granica w $+\infty$. Dla $x > 0$ jest $|x| = x$. Dzielimy licznik i mianownik przez $x$:

$f(x) = \frac{x\sqrt{16 + \frac{3}{x}}}{2x + 5} = \frac{\sqrt{16 + \frac{3}{x}}}{2 + \frac{5}{x}} \longrightarrow \frac{\sqrt{16}}{2} = 2$

Krok 4. Granica w $-\infty$. Dla $x < 0$ jest $|x| = -x$, więc w liczniku pojawia się minus:

$f(x) = \frac{-x\sqrt{16 + \frac{3}{x}}}{2x + 5} = \frac{-\sqrt{16 + \frac{3}{x}}}{2 + \frac{5}{x}} \longrightarrow \frac{-4}{2} = -2$

Krok 5. Sprawdzenie znaku „na zdrowy rozsądek”. Dla bardzo małych $x$ (np. $x = -1000$) licznik jest pierwiastkiem, czyli liczbą dodatnią, a mianownik $2x + 5$ jest ujemny. Iloraz musi być ujemny - wynik $-2$ się zgadza. Odpowiedź $2$ w $-\infty$ byłaby skutkiem błędu $\sqrt{x^2} = x$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -2$.