Parametry a i b, dla których granica √(9x² + ax + 1) − bx wynosi 2

Krok 1. Plan. Najpierw ustalimy, dla jakiego $b$ granica w ogóle może być skończona - dopiero wtedy powstaje symbol $\infty - \infty$, który da się „rozwiązać”. Potem z wyrażenia sprzężonego wyznaczymy $a$.

Krok 2. Wyłączamy $x$ (dla dużych $x$ wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, a $|x| = x$):

$\sqrt{9x^2 + ax + 1} - bx = x\left(\sqrt{9 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} - b\right)$

Nawias dąży do $3 - b$, a czynnik $x$ do $+\infty$.

Krok 3. Warunek konieczny: $b = 3$.

• Jeśli $b < 3$, nawias dąży do liczby dodatniej i całość dąży do $+\infty$.
• Jeśli $b > 3$, nawias dąży do liczby ujemnej i całość dąży do $-\infty$.

Granica skończona jest więc możliwa tylko dla $b = 3$ - niezależnie od wartości $a$.

Krok 4. Dla $b = 3$ mnożymy przez wyrażenie sprzężone $\sqrt{9x^2 + ax + 1} + 3x$:

$\sqrt{9x^2 + ax + 1} - 3x = \frac{(9x^2 + ax + 1) - 9x^2}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + 3x} = \frac{ax + 1}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + 3x}$

Krok 5. Dzielimy przez $x$:

$\frac{a + \frac{1}{x}}{\sqrt{9 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + 3} \longrightarrow \frac{a}{3 + 3} = \frac{a}{6}$

Krok 6. Warunek na wartość granicy. $\frac{a}{6} = 2$, czyli $a = 12$.

Krok 7. Sprawdzenie. Dla $a = 12$, $b = 3$ wyrażenie $\sqrt{9x^2 + 12x + 1} - 3x$ przy $x = 1000$ ma wartość około $1{,}9995$. Ciekawostka: $9x^2 + 12x + 1 = (3x + 2)^2 - 3$, więc pierwiastek jest tylko odrobinę mniejszy od $3x + 2$ - stąd granica $2$.

Odpowiedź. $a = 12$, $b = 3$.