Granica ilorazu wielomianów trzeciego stopnia w plus i minus nieskończoności

Krok 1. Rozpoznajemy symbol. Przy $x \to \pm\infty$ licznik i mianownik rosną nieograniczenie co do wartości bezwzględnej - to symbol $\frac{\infty}{\infty}$. Nie wolno „skrócić nieskończoności”; trzeba przekształcić ułamek.

Krok 2. Dzielimy przez najwyższą potęgę z mianownika, czyli przez $x^3$ (każdy wyraz licznika i mianownika):

$\frac{6x^3 - 2x + 1}{4x^3 + x^2 - 4} = \frac{6 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{4 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^3}}$

Krok 3. Granica w $+\infty$. Wszystkie ułamki postaci $\frac{c}{x^k}$ dążą do zera:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{6 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{4 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^3}} = \frac{6 - 0 + 0}{4 + 0 - 0} = \frac{3}{2}$

Krok 4. Granica w $-\infty$. Ułamki $\frac{c}{x^k}$ dążą do zera także przy $x \to -\infty$ (niektóre przez wartości ujemne, ale to nie ma znaczenia), więc rachunek jest identyczny i wynik ten sam.

Krok 5. Kontrola. Przy równych stopniach granica to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach: $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Dla $x = 1000$ ułamek ma wartość około $1{,}4996$ - wartości rzeczywiście zbliżają się do $1{,}5$.

Odpowiedź. Obie granice wynoszą $\frac{3}{2}$.