Kąt nachylenia prostej y = −√3x do osi OX - sin α, cos α i miara kąta

Krok 1. Które ramię? Prosta przechodzi przez początek układu i składa się z dwóch półprostych. Kąt $\alpha$ jest mniejszy od $180^\circ$, więc jego ramię końcowe to półprosta leżąca nad osią $OX$, czyli punkty prostej z $y > 0$.

Krok 2. Punkt na tej półprostej (a). Dla $y = -\sqrt{3}\,x$ warunek $y > 0$ oznacza $x < 0$. Bierzemy $x = -1$, wtedy $y = \sqrt{3}$: $P = (-1, \sqrt{3})$ oraz

$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.$

Krok 3. Sinus i cosinus (a).

$\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r} = -\frac{1}{2}.$

Sinus dodatni, cosinus ujemny - kąt z II ćwiartki, czyli rozwarty. Kąt rozwarty o cosinusie $-\frac{1}{2}$ to $\alpha = 120^\circ$ (zgadza się z tabelą: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$).

Krok 4. Związek z tangensem. Zauważ, że $\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$ - to dokładnie współczynnik kierunkowy prostej. Tak jest zawsze: dla prostej $y = ax$ mamy $\operatorname{tg}\alpha = a$.

Uwaga: kalkulator dla „kąta o tangensie $-\sqrt{3}$” poda $-60^\circ$. To kąt, którego ramię jest dolną połową tej samej prostej. Kąt nachylenia leży w przedziale $[0^\circ, 180^\circ)$, więc trzeba dodać $180^\circ$: $-60^\circ + 180^\circ = 120^\circ$.

Krok 5. Prosta z b). Teraz $a = \frac{\sqrt{3}}{3} > 0$, więc półprosta nad osią $OX$ leży w I ćwiartce. Bierzemy $x = 3$, wtedy $y = \sqrt{3}$: $P = (3, \sqrt{3})$, $r = \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3}$ i

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}, \qquad \cos\alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Kąt ostry o sinusie $\frac{1}{2}$ to $30^\circ$.

Odpowiedź. a) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$, $\alpha = 120^\circ$; b) $\alpha = 30^\circ$.