Ramię kąta na prostej 3x + 4y = 0 i sin α > 0 - oblicz wartość wyrażenia

Krok 1. Dwie półproste, dwa kąty. Prosta $3x + 4y = 0$, czyli $y = -\frac{3}{4}x$, przechodzi przez początek układu. Ramieniem kąta może być jej część w II ćwiartce albo część w IV ćwiartce - to dwa różne kąty o przeciwnych sinusach i przeciwnych cosinusach. O wyborze decyduje warunek $\sin\alpha > 0$.

Krok 2. Wybór półprostej. $\sin\alpha > 0$ oznacza $y > 0$, a na tej prostej $y > 0$ tylko dla $x < 0$. Bierzemy więc punkt z II ćwiartki: dla $x = -4$ mamy $y = 3$, czyli $P = (-4, 3)$.

Krok 3. Sinus i cosinus. $r = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$, więc

$\sin\alpha = \frac{3}{5}, \qquad \cos\alpha = -\frac{4}{5}.$

Krok 4. Licznik i mianownik.

$2\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = 2, \qquad 1 + \cos\alpha = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}.$

Krok 5. Wartość ułamka.

$\frac{2}{\frac{1}{5}} = 2 \cdot 5 = 10.$

Krok 6. Dlaczego warunek sin α > 0 był potrzebny. Punkt $Q = (4, -3)$ z drugiej półprostej daje $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$ i $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, a wtedy

$\frac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{-\frac{6}{5} - \frac{4}{5}}{\frac{9}{5}} = -\frac{10}{9}.$

Wynik zupełnie inny. Tangens jest na obu półprostych taki sam ($-\frac{3}{4}$), ale sinus i cosinus zmieniają znak - dlatego sama prosta nie wystarcza do wyznaczenia kąta.

Odpowiedź. Wartość wyrażenia wynosi $10$ (przy $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$).