Wartość wyrażenia z sin 90°, cos 180°, sin 270° - kąty 0°, 90°, 180°, 270°

Krok 1. Punkty na osiach. Bierzemy punkty ramienia w odległości $r = 1$ od początku układu - wtedy $\sin\alpha = y$ i $\cos\alpha = x$:

• $0^\circ$: $P = (1, 0)$, więc $\sin 0^\circ = 0$, $\cos 0^\circ = 1$;
• $90^\circ$: $P = (0, 1)$, więc $\sin 90^\circ = 1$, $\cos 90^\circ = 0$;
• $180^\circ$: $P = (-1, 0)$, więc $\sin 180^\circ = 0$, $\cos 180^\circ = -1$;
• $270^\circ$: $P = (0, -1)$, więc $\sin 270^\circ = -1$, $\cos 270^\circ = 0$.

Krok 2. Wyrażenie W. Tangens $180^\circ$ istnieje, bo $x = -1 \neq 0$: $\operatorname{tg} 180^\circ = \frac{0}{-1} = 0$. Podstawiamy:

$W = 3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 5 \cdot 0 = 3 + 2 - 4 - 0 = 1.$

Uwaga na znak: $-2\cos 180^\circ = -2 \cdot (-1) = +2$.

Krok 3. Wyrażenie V.

$V = \frac{2 \cdot 1 - (-1)}{-1 + 3 \cdot 1} = \frac{3}{2}.$

Krok 4. Które liczby istnieją. Tangens $\frac{y}{x}$ wymaga $x \neq 0$, a cotangens $\frac{x}{y}$ - $y \neq 0$:

• $\operatorname{tg} 0^\circ = \frac{0}{1} = 0$ - istnieje;
• $\operatorname{ctg} 90^\circ = \frac{0}{1} = 0$ - istnieje;
• $\operatorname{tg} 270^\circ = \frac{-1}{0}$ - nie istnieje (ramię na osi $OY$);
• $\operatorname{ctg} 180^\circ = \frac{-1}{0}$ - nie istnieje (ramię na osi $OX$).

Uwaga: wartość $0$ i „nie istnieje” to dwie różne rzeczy. Gdy zero stoi w liczniku, wynik jest równy $0$; dopiero zero w mianowniku sprawia, że funkcja nie istnieje.

Odpowiedź. a) $W = 1$; b) $V = \frac{3}{2}$; c) istnieją $\operatorname{tg} 0^\circ = 0$ i $\operatorname{ctg} 90^\circ = 0$, a $\operatorname{tg} 270^\circ$ i $\operatorname{ctg} 180^\circ$ nie istnieją.