Punkt P = (m, −6) na ramieniu kąta i cos α = −4/5 - wyznacz m, sin α i tg α

Krok 1. Znak współrzędnej m. Cosinus to $\frac{x}{r}$, a $r > 0$, więc znak cosinusa jest znakiem $x$. Skoro $\cos\alpha < 0$, to $m < 0$. Razem z $y = -6 < 0$ oznacza to III ćwiartkę.

Krok 2. Równanie z definicji cosinusa. Mamy $r = \sqrt{m^2 + 36}$ i

$\frac{m}{\sqrt{m^2 + 36}} = -\frac{4}{5}.$

Krok 3. Podnosimy do kwadratu. Obie strony są ujemne, więc kwadraty są równe:

$\frac{m^2}{m^2 + 36} = \frac{16}{25} \quad\Rightarrow\quad 25m^2 = 16m^2 + 576 \quad\Rightarrow\quad 9m^2 = 576 \quad\Rightarrow\quad m^2 = 64.$

Stąd $m = 8$ albo $m = -8$.

Krok 4. Wybór rozwiązania. Z kroku 1 wiemy, że $m < 0$, więc $m = -8$. Wartość $m = 8$ dałaby $\cos\alpha = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ - podnoszenie do kwadratu zgubiło informację o znaku i trzeba ją przywrócić ręcznie.

Krok 5. Pozostałe funkcje. Dla $P = (-8, -6)$ mamy $r = \sqrt{64 + 36} = 10$, więc

$\sin\alpha = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4}.$

Sprawdzenie: $\cos\alpha = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$ - zgadza się z treścią.

Odpowiedź. $m = -8$, $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$.