W której ćwiartce leży kąt α, gdy sin α < 0 i cos α > 0 - cztery przypadki

Szkoła średnia łatwe

Kąt $\alpha$ spełnia warunek $0^\circ < \alpha < 360^\circ$ , a jego ramię końcowe nie leży na żadnej osi. W której ćwiartce leży kąt $\alpha$ , jeśli:

a) $\sin\alpha < 0$ i $\cos\alpha > 0$ ,

b) $\operatorname{tg}\alpha > 0$ i $\cos\alpha > 0$ ,

c) $\cos\alpha < 0$ i $\operatorname{ctg}\alpha < 0$ ,

d) $\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha < 0$ i $\operatorname{ctg}\alpha > 0$ ?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Znaki przez współrzędne. Dla punktu $P = (x, y)$ ramienia: znak sinusa to znak $y$ , znak cosinusa to znak $x$ , a tangens i cotangens są dodatnie, gdy $x$ i $y$ mają ten sam znak. Każdy warunek przekładamy na zbiór ćwiartek i bierzemy część wspólną.

Krok 2. Przypadek a). $\sin\alpha < 0$ - III lub IV ćwiartka; $\cos\alpha > 0$ - I lub IV. Część wspólna: IV ćwiartka.

Krok 3. Przypadek b). $\operatorname{tg}\alpha > 0$ - I lub III; $\cos\alpha > 0$ - I lub IV. Część wspólna: I ćwiartka.

Krok 4. Przypadek c). $\cos\alpha < 0$ - II lub III; $\operatorname{ctg}\alpha < 0$ - II lub IV. Część wspólna: II ćwiartka.

Krok 5. Przypadek d). Najpierw upraszczamy iloczyn:

$\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}.$

Licznik $\sin^2\alpha$ jest dodatni (ramię nie leży na osi $OX$ ), więc iloczyn jest ujemny dokładnie wtedy, gdy $\cos\alpha < 0$ - II lub III ćwiartka. Warunek $\operatorname{ctg}\alpha > 0$ daje I lub III. Część wspólna: III ćwiartka.

Uwaga: w d) łatwo się pomylić, patrząc tylko na „pierwszy czynnik” iloczynu. Sinus i tangens mają w II ćwiartce różne znaki, w III też - dlatego o znaku iloczynu decyduje sam cosinus.

Odpowiedź. a) IV ćwiartka, b) I ćwiartka, c) II ćwiartka, d) III ćwiartka.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →